量子ビット、量子レジスタ#

量子ビット（qubit=キュビット）とは量子コンピュータの基本構成要素のことで、量子情報の入れ物の最小単位です。そして、量子ビットの集まりを量子レジスタと呼びます。

量子レジスタは量子コンピュータ中で常に一つの「状態」にあります。量子レジスタの状態を物理学の習わしに従ってしばしば「ケット」という$|\psi ⟩$のような記号で表します[1]。量子力学に不慣れな方はこの記法で怯んでしまうかもしれませんが、ケット自体はただの記号なのであまり気にしないでください。別に「枠」なしで$\psi$と書いても、絵文字を使って🔱と書いても、何でも構いません。

重要なのは各量子ビットに対して2つの基底状態が定義できることで、量子計算の習わしではそれらを$|0⟩$と$|1⟩$で表し、「計算基底」とも呼びます[2]。そして、量子ビットの任意の状態は、2つの複素数$\alpha ,\beta$を使って

と2つの基底の「重ね合わせ」で表せます。ここで$\alpha ,\beta$を確率振幅、もしくは単に振幅（amplitude）と呼びます。繰り返しですが別に表記法自体に深い意味はなく、例えば同じ状態を$[\alpha ,\beta ]$と書いてもいいわけです[3]。

量子ビットの任意の状態が2つの複素数で表せるということは、逆に言えば一つの量子ビットには2つの複素数に相当する情報を記録できるということになります。ただこれには少し注釈があって、量子力学の決まりごとから、$\alpha$と$\beta$は

という関係を満たさなければならず、かつ全体の位相（global phase）は意味を持たない、つまり、任意の実数$\theta$に対して

（ここで $\sim$ は「同じ量子状態を表す」という意味）である、という制約があります。

複素数1つは実数2つで書けるので、$\alpha$と$\beta$をあわせて実数4つ分の情報が入っているようですが、2つの拘束条件があるため、実際の自由度は 4-2=2 個です。自由度の数をあらわにして量子ビットの状態を記述するときは、

と書いたりもします。この表記法をブロッホ球表現と呼ぶこともあります。

面白くなるのは量子ビットが複数ある場合です。例えば量子ビット2つなら、それぞれに$|0⟩,|1⟩$の計算基底があるので、任意の状態は

と4つの複素数を使った重ね合わせになります。2つの量子ビットの基底を並べた$|0⟩|0⟩$のような状態が、このレジスタの計算基底ということになります。$|00⟩$と略したりもします。

上で登場した量子力学の決まりごとはこの場合

と

となります。量子ビットがいくつあっても拘束条件は2つだけです。

つまり、量子ビット$n$個のレジスタでは、基底の数が$2^n$個で、それぞれに複素数の振幅がかかり、拘束条件が2つあるので、実数$2\times 2^n-2$個分の情報が記録できることになります。これが量子計算に関して「指数関数的」という表現がよく用いられる所以です。

量子レジスタの計算基底状態の表記法としては、上に書いたようにケットを$n$個並べたり$n$個の0/1を一つのケットの中に並べたりする方法がありますが、さらにコンパクトなのが、0/1の並び（ビット列）を二進数とみなして、対応する（十進数の）数字で表現する方法です。例えば4量子ビットのレジスタで状態$|0000⟩$と$|1111⟩$はそれぞれ$|0⟩$と$|15⟩$と書けます。

ただし、ここで注意すべきなのは、左右端のどちらが「1の位」なのか事前に約束しないといけないことです。$|0100⟩$を$|4⟩$（右端が1の位）とするか$|2⟩$（左端が1の位）とするかは約束次第です。このワークブックでは、Qiskitでの定義に従って、右端を1の位とします。同時に、レジスタの最初の量子ビットが1の位に対応するようにしたいので、ケットや0/1を並べて計算基底を表現するときは、右から順にレジスタの量子ビットを並べていくことにします。

Qiskitには量子レジスタを表すクラスQuantumRegisterがあります。QuantumRegisterは

from qiskit import QuantumRegister
register = QuantumRegister(4, 'myregister')

のように量子ビット数（この場合4）と名前（'myregister'）を指定して初期化します。初期状態では、量子ビットはすべて$|0⟩$状態にあります。レジスタオブジェクトはこのままではあまり使い道がなく、基本的には次に紹介する量子回路の一部として利用します。

ゲート、回路、測定#

量子計算とは、端的に言えば、量子レジスタに特定の状態を生成し、その振幅を利用することと言えます。

とは言っても、いきなり「えいや」と好きな量子状態を作れるわけではなく、パターンの決まった単純操作（$|0⟩$と$|1⟩$を入れ替える、ブロッホ球表現での位相角度$\varphi$を増減させる、など）を順番に組み合わせて複雑な状態を作っていきます。この単純操作のオペレーションのことを一般に量子ゲートといい、ゲートの種類や順番を指定したプログラムに相当するものを量子回路と呼びます。

Qiskitでは、量子回路をQuantumCircuitオブジェクトで表します。

from qiskit import QuantumCircuit, QuantumRegister
register = QuantumRegister(4, 'myregister')
circuit = QuantumCircuit(register)

という具合です。

作られた量子回路は、量子ビットの数が決まっているもののゲートが一つもない「空っぽ」の状態なので、そこにゲートをかけていきます。例えば下で説明するアダマールゲートをレジスタの2個目の量子ビットに作用させるには

circuit.h(register[1])

とします。

上で「振幅を利用する」という曖昧な表現をしましたが、それはいろいろな利用の仕方があるからです。しかし、どんな方法であっても、必ず量子レジスタの測定という操作を行います。量子コンピュータから何かしらの情報を得るための唯一の方法が測定です。Qiskitではmeasure_allなどのメソッドを使って測定を行います。

circuit.measure_all()

測定は量子レジスタの状態を「覗き見る」ような操作ですが、一回の測定操作で具体的に起きることは、各量子ビットに対して0もしくは1という値が得られるというだけです。つまり、量子状態が$2^n$個の計算基底の複雑な重ね合わせであったとしても、測定をすると一つの計算基底に対応するビット列が出てくるだけということになります。しかも、一度測定してしまった量子ビットはもう状態を変えてしまっていて、複雑な重ね合わせは失われてしまいます。

ではこの「一つの計算基底」がどの基底なのかというと、実は特殊な場合を除いて決まっていません。全く同じ回路を繰り返し実行して測定すると、毎回ランダムにビット列が決まります。ただし、このランダムさには法則があって、特定のビット列が得られる確率は、対応する計算基底の振幅の絶対値自乗となっています。つまり、$n$ビットレジスタの状態$\sum _{j=0}^{2^n-1}{c}_j|j⟩$があるとき、測定でビット列$k$が得られる確率は$|c_k{|}^2$です。根本的には、この確率の分布$|c_0{|}^2,|c_1{|}^2,\dots ,|c_{2^n-1}{|}^2$こそが量子計算の結果です。

量子計算結果の解析#

回路の実行と測定を何度も繰り返して、それぞれのビット列が現れる頻度を記録すれば、だんだん$|c_j{|}^2$の値がわかっていきます。例えば、2量子ビットの回路を1000回実行・測定して、ビット列00、01、10、11がそれぞれ246回、300回、103回、351回得られたとすれば、統計誤差を考慮して$|c_0{|}^2=0.24\pm 0.01$、$|c_1{|}^2=0.30\pm 0.01$、$|c_2{|}^2=0.11\pm 0.01$、$|c_3{|}^2=0.35\pm 0.01$という具合です。しかし、わかるのは$c_j$の絶対値だけで、複素位相については知る術なしです。どうもすっきりしませんが、これが量子コンピュータから情報を得る方法です。

逆に、指数関数的な内部の情報量をうまく使って計算を行いつつ、測定という限定的な方法でも答えが読み出せるように工夫するのが、量子アルゴリズム設計の真髄ということになります。例えば理想的には、何か計算の答えが整数$k$であり、それを計算する回路の終状態が単純に$|k⟩$となるようであれば、一度の測定で答えがわかる（上でいった特殊な場合に相当）わけです。単純に$|k⟩$でなくても、重ね合わせ$\sum _{j=0}^{2^n-1}{c}_j|j⟩$において$|c_k|\gg |c_{j\ne k}|$を実現できれば、数回の測定で答えが高確率でわかります。素因数分解アルゴリズムを学習するで紹介する位相推定アルゴリズムはその好例です。

一度の測定で答えがわかるケースを除いて、基本的には多数回の試行から確率分布を推定することになるので、量子回路を量子コンピュータの実機やシミュレータに送って実行させる時には必ず繰り返し数（「ショット数」と呼びます）を指定します。ショット数$S$でビット列$k$が$n_k$回得られた時、$|c_k{|}^2$の推定値は$z_k=n_k/S$、その統計誤差は（$S,n_k,S-n_k$が全て十分大きい場合）$\sqrt{z_k(1-z_k)/S}$で与えられます。

よく使うゲート#

IBMのQPUのように超電導振動子を利用する量子コンピュータでは、通常、実際に使用できるゲートは量子ビット1つにかかるものと2つにかかるものに限定されます。しかし、それらを十分な数組み合わせれば、$n$量子ビットレジスタにおいてどのような状態も実現（任意の精度で近似）できることが、数学的に証明されています。

# First, import all the necessary python modules
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from qiskit import QuantumCircuit, transpile
from qiskit.visualization import plot_distribution
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService, SamplerV2 as Sampler
from qiskit_ibm_runtime.accounts import AccountNotFoundError
# qc_workbook is the original module written for this workbook
# If you encounter an ImportError, edit the environment variable PYTHONPATH or sys.path
from qc_workbook.utils import operational_backend

print('notebook ready')

circuit = QuantumCircuit(2)  # You can also create a circuit by specifying the number of bits without using a register
circuit.h(0)  # Qubits can be addressed by their index within the circuit
circuit.ry(np.pi / 2., 0)  #　θ = π/2
circuit.x(0)
# Measurement is always needed to get an output
circuit.measure_all()

print(f'This circuit has {circuit.num_qubits} qubits and {circuit.size()} operations')

This circuit has 2 qubits and 5 operations

theta1 = 2. * np.arctan(np.sqrt(7. / 3.))
theta2 = 2. * np.arctan(np.sqrt(2.))
theta3 = 2. * np.arctan(np.sqrt(4. / 3))

circuit = QuantumCircuit(2)
circuit.ry(theta1, 1)
circuit.ry(theta2, 0)
circuit.cry(theta3 - theta2, 1, 0)  # C[Ry]　1が制御で0が標的
circuit.cz(0, 1)  # C[Z] 0が制御で1が標的（実はC[Z]ではどちらが制御でも結果は同じ）
circuit.measure_all()

print(f'This circuit has {circuit.num_qubits} qubits and {circuit.size()} operations')

This circuit has 2 qubits and 6 operations

回路図の描き方と読み方#

量子回路を可視化する方法として、「回路図」の標準的な描き方が決まっています。QiskitではQuantumCircuitオブジェクトのdraw()というメソッドを使って自動描画できます。

circuit.draw('mpl')

ここでdraw()の引数'mpl'はmatplotlibライブラリを使ってカラーで描くことを指定しています。実行環境によっては対応していないこともあるので、その場合は引数なしのdraw()を使います。結果はmplの場合に比べて見劣りしますが、内容は同じです。

circuit.draw()

        ┌────────────┐┌──────────────┐    ░ ┌─┐   
   q_0: ┤ Ry(1.9106) ├┤ Ry(-0.19649) ├─■──░─┤M├───
        ├────────────┤└──────┬───────┘ │  ░ └╥┘┌─┐
   q_1: ┤ Ry(1.9823) ├───────■─────────■──░──╫─┤M├
        └────────────┘                    ░  ║ └╥┘
meas: 2/═════════════════════════════════════╩══╩═
                                             0  1 

回路図は左から右に読んでいきます。水平の2本の実線が上からそれぞれ第0、第1量子ビットに対応し、その上にかぶさっている四角がゲート、最後にある矢印が下に伸びている箱が測定を表します。1ビットゲートから伸びている先端の丸い縦線は制御を表します。一番下の二重線は「古典レジスタ」（量子現象のない物理学を「古典物理学」と呼ぶので、量子でない通常のコンピュータにまつわる概念にはよく「古典 classical」という接頭辞をつけます）に対応し、測定結果の0/1が記録される部分です。